成人高考数学函数的最大与最小值
教学目标：、使学生掌握可导函数 在闭区间 上所有点（包括端点 ）处的函数中的最大（或最小）值；
、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学难点：提高用导数求函数的极值及最值的应用能力
一、复习：
、 ；、
、求的 极值。
二、新课
在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小
观察下面一个定义在区间 上的函数 的图象
发现图中是极小值，是极大值，在区间 上的函数
的最大值是，最小值是
在区间上求函数的最大值与最小值 的步骤：
、函数在 内有导数 ；
、求函数在 内的极值
、将函数 在 内的极值与 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值
三、例、求函数 在区间 上的最大值与最小值。
解：先求导数，得
令 ＝即 解得
导数 的正负以及 ， 如下表
－（－，－）－（－，）（，）（，）
＋－＋
从上表知，当 时，函数有最大值，当 时，函数有最小值
在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。
例 用边长为的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？
例、已知某商品生产成本与产量的函数关系为＝＋，价格与产量的函数关系为＝－，求产量为何值时，利润最大。
四、小结：
、闭区间 上的连续函数一定有最值；开区间 内的可导函数
不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。
、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。
五、练习及作业：：
、函数 在区间 上的最大值与最小值
、求函数 在区间 上的最大值与最小值。
、求函数 在区间 上的最大值与最小值。
、求函数 在区间 上的最大值与最小值。
、给出下面四个命题
（）函数 在区间 上的最大值为，最小值为－
（）函数 （＜＜）上的最大值为，最小值为
（）函数 （－＜＜）上的最大值为 ， 最小值为－
（）函数 （－＜＜）上 无 最大值 也无 最小值。
其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
、把长度为的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。
、把长度为的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。
、某商品一件的成本为元，在某段时间内，若以每件元出售，可以卖出件，应该如何定价才能使利润最大？
、在曲线，上找一点了，过此点作一切线，与、轴构成一个三角形，问为何值时，此三角形面积最小？
、要设计一个容积为的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？
